Динамическая модель сейсмического сигнала человека

Чистова Г.К.
20.05.2005 | 14:00
Чистова Г.К., Пензенский государственный университет

Сейсмический сигнал в дискретном времени t можно представить в виде динамической системы с сосредоточенными параметрами и описать моделью временного ряда. Это позволит решить несколько задач, а именно: прогнозировать поведения сигнала во временной области, описать его моделью с небольшим количеством параметров и оценить их значения, исследовать внутреннюю структуру процесса.
Выделим четыре типа факторов (компонент), формирующих структуру ВР:

  • долговременные, которые описываются функцией тренда fт.(t);
  • сезонные или периодически повторяющиеся колебания, то есть неслучайная функция fc.(t). Чтобы параметризация модели была однозначной, ведем ограничение: сумма сезонных эффектов равна нулю;
  • циклические, обусловленные действием долговременных циклов (соизмеримых с несколькими месяцами, годом), функция fц.(t);
  • случайные (нерегулярные), которые обусловливают вероятностную природу x(t), обозначим e(t).
При аддитивной схеме влияния всех факторов временной ряд можно представить в виде разложения:

u(t)=Ж(1)fт.(t)+Ж(2)fс.(t)+Ж(3)fц.(t)+e(t), t = 1, ..., n ,

где Ж(Ч) - индикаторная переменная: Ж(Ч)=1, если фактор участвует в формировании структуры ВР и Ж(Ч)=0 в противном случае. По имеющейся траектории временного ряда необходимо: определить, какие из неслучайных функций (1 ... 4) присутствуют в разложении и построить хорошие оценки для них; подобрать модель, адекватно описывающую поведение случайных остатков и статистически оценить параметры этой модели.
Для описания сейсмического сигнала разработана модель, которая содержит: случайную составляющую, представленную в виде смешанного процесса авторегрессии (оператор А порядка p) - скользящего среднего (оператор В порядка q); нестационарную компоненту, которую можно описать полиномом степени k-1 (kі 1); сезонную составляющую с периодом T, и описанную по аналогии с моделью АРПСС с помощью операторов C и G.
Общий мультипликативный процесс представлен моделью вида
,
с результирующим порядком (p,q,k)ґ(P,Q,K)T; - упрощающий оператор в "подходящей" степени K; F - оператор сдвига на один шаг назад; D=1-F; f, f* и q, q* - параметры моделей.
В качестве единой методики в процедуре подгонки параметров был выбран ЛП0-поиск.
Оценка периода сезонной составляющей проведена с использованием кратковременная функция среднего значения разности
,

где i - номер текущего отсчета; w(j) - функция окна; j - длина окна. Эта функция имеет свойства, сходные с автокорреляционной функцией, но более проста в вычислении.
Идентификация параметров моделей и прогноз проведены методом обучающей выборки. Рассмотрено девять моделей:
АРПСС(1,0,0), АРПСС(1,1,0), АРПСС(1,0,1), АРПСС(0,1,1), АРПСС(1,1,1), АРПСС(0,2,2), АРПСС(1,0,0)*(1,0,0)T, АРПСС(1,0,1)*(1,0,0)T, АРПСС(0,1,1)*(1,1,0)T.
Результаты идентификации и прогноза для сигналов нарушителя показали, что сезонная модель АРПСС(0,1,1)*(1,1,0)T наиболее адекватна рассмотренным данным. Она позволяет воспроизвести сейсмический сигнал человека с небольшими ошибками прогноза и является экономичной, так как требует определения периода сезонной компоненты и настройки всего трех параметров.
Статистическая обработка выборки из десяти записей для рассмотренных типов движения подтвердила достаточную стабильность сезонной компоненты (разброс порядка 10 %).